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运筹学-Python实现图论与最短距离

目录
  • 1 概述
    • 1.1 贪心算法
    • 1.2 图论及求解最短距离 
      • 1.2.1 方法选择
      • 1.2.2 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法
  • 2 案例1——贪心算法实现 
    • 2.1 旅行商问题(TSP)
      • 2.2 案例
        • 2.3 python实现 
          • 2.4 结果 
          • 3 案例2——图论及最短距离 
            • 3.1 知识点
              • 3.2 networkx绘图 
                • 3.2.1 创建图
                • 3.2.2 定点的添加、删除和查看 
                • 3.2.3 边的添加、删除和查看 
              • 3.3 案例 
                • 3.4 Python实现 
                  • 3.5 结果

                  1 概述

                  1.1 贪心算法

                  贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑,它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。当然,希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解,但对许多问题它能产生整体最优解。如单源最短路经问题,最小生成树问题等。在一些情况下,即使贪心算法不能得到整体最优解,其最终结果却是最优解的很好近似。

                  基本思路:从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标,以尽可能快的地求得更好的解。当达到算法中的某一步不能再继续前进时,算法停止。

                  该算法存在问题:

                  • (1)不能保证求得的最后解是最佳的;
                  • (2)不能用来求最大或最小解问题;
                  • (3)只能求满足某些约束条件的可行解的范围。

                  实现该算法的伪代码:

                  从问题的某一初始解出发;

                   

                  while 能朝给定总目标前进一步 do

                   

                     求出可行解的一个解元素

                  由所有解元素组合成问题的一个可行解;

                  1.2 图论及求解最短距离 

                  1.2.1 方法选择

                  • (1)需要求解任意两个节点之间的最短距离,使用 Floyd 算法;
                  • (2)只要求解单源最短路径问题,有负权边时使用 Bellman-Ford 算法,没有负权边时使用 Dijkstra 算法;
                  • (3)A*算法找到的是相对最优路径,适合大规模、实时性高的问题。

                  本节我们只讨论Dijkstra 算法。

                  1.2.2 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法

                  适用于wij≥0,给出了从vs到任意一个点vj的最短路。

                  Dijkstra算法是在1959年提出来的。目前公认,在所有的权wij ≥0时,这个算法是寻求最短路问题最好的算法。并且,这个算法实际

                  上也给出了寻求从一个始定点vs到任意一个点vj的最短路。

                  2 案例1——贪心算法实现 

                  2.1 旅行商问题(TSP)

                  旅行商问题(TravelingSalesmanProblemTSP)一个商品推销员要去若干个城市推销商品,该推销员从一个城市出发,需要遍历所有城市一次且只能一次,回到出发地。应如何选择行进路线,以使总的行程最短。

                  旅行商问题(TSP)即给定一组城市以及每对城市之间的距离,需要找到一条最短的路线,该路线只对每个城市进行一次访问并返回起点。

                  这里注意汉密尔顿活路(Hamiltonian Cycle)和TSP之间的区别。汉密尔顿回路问题是要找出是否存在一次游览每个城市一次的路线。在TSP问题中,我们是已知存在汉密尔顿回路(因为该图是完整的),并且实际上,存在许多此类回路,TSP问题在于找到最小权重的汉密尔顿回路。

                  运筹学-Python实现图论与最短距离

                  目前解决TSP问题的方法有许多种,比如:贪心算法、动态规划算法、分支限界法;也有智能算法。本文先介绍贪心算法:

                  2.2 案例

                  数据 如下图,第一列城市名。第二列坐标x,第三列坐标y:

                  贪心算法思路:随便选择出发城市,然后每次选择要去的下一个城市时,都选择还没去的最近的城市。

                  运筹学-Python实现图论与最短距离

                  2.3 Python实现 

                  #========第一步:导入相关库==================
                  import pandas as pd
                  import numpy as np
                  import math
                  import time
                  
                  #======第二步:读取数据=================
                  dataframe = pd.read_csv("旅行商问题.csv", sep=",", header=None)
                  v = dataframe.iloc[:, 1:3]   #去除第一列12345678910,只保留x,y
                  print('读取数据:----------------------------')
                  print(v)
                  
                  #=======第三步:计算城市之间的距离========
                  train_v= np.array(v)
                  train_d=train_v
                  dist = np.zeros((train_v.shape[0],train_d.shape[0]))  #初始化距离 为10*10的全0矩阵
                  print(dist.shape)  #(10,10)
                  
                  #==计算距离矩阵===
                  for i in range(train_v.shape[0]):
                    for j in range(train_d.shape[0]):
                      dist[i,j] = math.sqrt(np.sum((train_v[i,:]-train_d[j,:])**2))
                  print('距离矩阵:----------------------------------')
                  print(dist)
                  
                  #==========第四步:计算距离和路径==============
                  """
                  s:已经遍历过的城市
                  dist:城市间距离矩阵
                  sumpath:目前的最小路径总长度
                  Dtemp:当前最小距离
                  flag:访问标记
                  """
                  i=1
                  n=train_v.shape[0]#城市个数
                  j=0
                  sumpath=0#目前的最小路径总长度
                  s=[]#已经遍历过的城市
                  s.append(0)#从城市0开始
                  start = time.perf_counter()   #time.clock()
                  while True:
                    k=1#从1开始,因为人在城市0,所以我们设定先从城市1开始选择
                    Detemp=float('inf')#当前最小距离
                    while True:
                      flag=0#访问标记,否0
                      if k in s:#是否访问,如果访问过,flag设为1
                        flag = 1
                      if (flag==0) and (dist[k][s[i-1]] < Detemp):#如果未访问过,并且距离小于最小距离
                        j = k;
                        Detemp=dist[k][s[i - 1]];   #当前两座城市相邻距离
                      k+=1#遍历下一城市
                      if k>=n:
                        break;
                    s.append(j)
                    i+=1;
                    sumpath+=Detemp
                    if i>=n:
                      break;
                  
                  sumpath+=dist[0][j]#加上dist[0][j] 表示最后又回到起点
                  end = time.perf_counter()  #time.clock()
                  print("距离:")
                  print(sumpath)
                  print('*--------------*')
                  print('路径:')
                  for m inhttp://www.cppcns.com range(n):
                    print("%s-> "%(s[m]),end='')
                  print()
                  print("程序的运行时间是:%s"%(end-start))

                  代码解析:数字k表示当前我们选择前往下一个城市时,我们需要计算所有未访问过的城市和当前城市距离。

                  数字i 用于控制访问过的城市,我们需要到达每一个城市。

                  代码中有两个while

                  里面那个while表示选择下一城市时,需要遍历所有未访问过的城市,然后选择距离当前城市最近的城市,赋值给j

                  外面while,表示我们的每一步,我们需要去每个城市。

                  2.4 结果 

                  读取数据:

                        1     2

                  0  2066  2333

                  1   935  1304

                  2  1270   200

                  3  1389   700

                  4   984  2810

                  5  2253   478

                  6   949  3025

                  7    87  2483

                  8  3094  1883

                  9  2706  3130

                  (10, 10)

                  距离矩阵:----------------------------------

                  [[   0.         1529.05264788 2276.68728639 1767.77204413 1182.47748393

                    1864.40178073 1313.98363765 1984.67654795 1122.17823896 1022.15898959]

                   [1529.05264788    0.         1153.70750193  755.6004235  1506.7969339

                    1555.44205935 1721.0569427  1452.28957168 2235.29013777 2543.76040538]

                   [2276.68728639 1153.70750193    0.          51编程客栈3.96595218 2625.6229737

                    1021.55420806 2843.17885473 2571.29889356 2481.82694804 3262.97349055]

                   [1767.77204413  755.6004235   513.96595218    0.         2148.51693035

                     892.06502005 2366.26815894 2207.7801068  2075.21420581 2763.94446399]

                   [1182.47748393 1506.7969339  2625.6229737  2148.51693035    0.

                    2654.91713618  217.83020911  954.74499213 2304.65377009 1751.48051659]

                   [1864.40178073 1555.44205935 1021.55420806  892.06502005 2654.91713618

                       0.         2861.40262808 2编程客栈951.53875123 1637.46938903 2690.41130685]

                   [1313.98363765 1721.0569427  2843.17885473 2366.26815894  217.83020911

                    2861.40262808    0.         1018.23769327 2430.05946429 1760.13465394]

                   [1984.67654795 1452.28957168 2571.29889356 2207.7801068   954.74499213

                    2951.53875123 1018.23769327    0.         3066.2760802  2697.7342345 ]

                   [1122.17823896 2235.29013777 2481.82694804 2075.21420581 2304.65377009

                    1637.46938903 2430.05946429 3066.2760802     0.         1305.9682232 ]

                   [1022.15898959 2543.76040538 3262.97349055 2763.94446399 1751.48051659

                    2690.41130685 1760.13465394 2697.7342345  1305.9682232     0.        ]]

                  距离:

                  10464.183486532447

                  *--------------*

                  路径:

                  0-> 9-> 8-> 5-> 3-> 2-> 1-> 7-> 4-> 6-> 

                  程序的运行时间是:0.0002605780000024538

                   

                  Process finished with exit code 0

                   

                  3 案例2——图论及最短距离 

                  3.1 知识点

                  运筹学-Python实现图论与最短距离

                  运筹学-Python实现图论与最短距离

                  3.2 networkx绘图 

                  3.2.1 创建图

                  networkx有四种图 Graph DiGraphMultiGraphMultiDiGraph,分别为无多重边无向图、无多重边有向图、有多重边无向图、有多重边有向图。

                  #==========创建图================
                  
                  import networkx as nx # 导入 NetworkX 工具包
                  G1 = nx.Graph() # 创建:空的 无向图
                  G2 = nx.DiGraph() #创建:空的 有向图
                  G3 = nx.MultiGraph() #创建:空的 多图
                  G4 = nx.MultiDiGraph() #创建:空的 有向多图

                  3.2.2 定点的添加、删除和查看 

                  #================顶点的添加、删除和查看=============
                  
                  #======顶点(node)的操作=====
                  
                  #==向图中添加顶点==
                  G1.add_node(1) # 向 G1 添加顶点 1
                  G1.add_node(1, name='n1', weight=1.0) # 添加顶点 1,定义 name, weight 属性
                  G1.add_node(2, date='May-16') # 添加顶点 2,定义 time 属性
                  G1.add_nodes_from([3, 0, 6], dist=1) # 添加多个顶点,并定义属性
                  G1.add_nodes_from(range(10, 15)) # 向图 G1 添加顶点 10~14
                  
                  #==查看顶点和顶点属性==
                  print(G1.nodes()) # 查看顶点列表
                  # [1, 2, 3, 0, 6, 10, 11, 12, 13, 14]
                  print(G1._node) # 查看顶点属性
                  # {1: {'name': 'n1', 'weight': 1.0}, 2: {'date': 'May-16'}, 3: {'dist': 1}, 0: {'dist': 1}, 6: {'dist': 1}, 10: {}, 11: {}, 12: {}, 13: {}, 14: {}}
                  
                  #==从图中删除顶点==
                  G1.remove_node(1) # 删除顶点
                  G1.remove_nodes_from([1, 11, 13, 14]) # 通过顶点标签的 list 删除多个顶点
                  print(G1.nodes()) # 查看顶点
                  # [2, 3, 0, 6, 10, 12] # 顶点列表

                  3.2.3 边的添加、删除和查看 

                  #====================边的添加、删除和查看================
                  
                  #========边(edge)的操作========
                  
                  #==向图中添加边==
                  G1.add_edge(1,5) # 向 G1 添加边,并自动添加图中没有的顶点
                  G1.add_edge(0,10, weight=2.7) # 向 G1 添加边,并设置边的属性
                  G1.add_edges_from([(1,2,{'weight':0}), (2,3,{'color':'blue'})]) # 向图中添加边,并设置#==属性==
                  G1.add_edges_from([(3,6),(1,2),(6,7),(5,10),(0,1)]) # 向图中添加多条边
                  G1.add_weighted_edges_from([(1,2,3.6),[6,12,0.5]]) # 向图中添加多条赋权边: (node1,node2,weight)
                  print(G1.nodes()) # 查看顶点
                  # [2, 3, 0, 6, 10, 12, 1, 5, 7] # 自动添加了图中没有的顶点
                  
                  #==从图中删除边==
                  G1.remove_edge(0,1) # 从图中删除边 0-1
                  G1.remove_edges_from([(2,3),(1,5),(6,7)]) # 从图中删除多条边
                  
                  #==查看边和边的属性==
                  print(G1.edges) # 查看所有的边
                  [(2, 1), (3, 6), (0, 10), (6, 12), (10, 5)]
                  print(G1.get_edge_data(1,2)) # 查看指定边的属性
                  # {'weight': 3.6}
                  print(G1[1][2]) # 查看指定边的属性
                  # {'weight': 3.6}
                  print(G1.edges(data=True)) # 查看所有边的属性
                  # [(2, 1, {'weight': 3.6}), (3, 6, {}), (0, 10, {'weight': 2.7}), (6, 12, {'weight': 0.5}), (10, 5, {})]

                  3.3 案例 

                  例题 1:已知如图的有权无向图,求顶点 v1 到 顶点 v11 的最短路径。

                  运筹学-Python实现图论与最短距离

                  3.4 Python实现 

                  #========导入相关包=========================
                  import matplotlib.pyplot as plt # 导入 Matplotlib 工具包
                  import networkx as nx # 导入 NetworkX 工具包
                  
                  #======问题:无向图的最短路问题===============
                  G1 = nx.Graph() # 创建:空的 无向图
                  G1.add_weighted_edges_from([(1,2,2),(1,3,8),(1,4,1),
                                (2,3,6),(2,5,1),
                                (3,4,7),(3,5,5),(3,6,1),(3,7,2编程客栈),
                                (4,7,9),
                                (5,6,3),(5,8,2),(5,9,9),
                                (6,7,4),(6,9,6),
                                (7,9,3),(7,10,1),
                                (8,9,7),(8,11,9),
                                (9,10,1),(9,11,2),
                                (10,11,4)]) # 向图中添加多条赋权边: (node1,node2,weight)
                  print('nx.info:',G1.nodes) # 返回图的基本信息,nx.info:返回图的基本信息
                  
                  #=======两个指定顶点之间的最短加权路径===============
                  minWPath_v1_v11 = nx.dijkstra_path(G1, source=1, target=11) # 顶点 1 到 顶点 编程客栈11 的最短加权路径
                  print("顶点 v1 到 顶点 v11 的最短加权路径: ", minWPath_v1_v11)
                  # 两个指定顶点之间的最短加权路径的长度
                  lMinWPath_v1_v11 = nx.dijkstra_path_length(G1, source=1, target=11) # 最短加权路径长度
                  print("顶点 v1 到 顶点 v11 的最短加权路径长度: ", lMinWPath_v1_v11)
                  
                  pos = {1: (0,4), 2: (5,7), 3: (5,4), 4: (5,1), 5: (10,7), 6: (10,4), 7: (10,1),
                     8: (15,7), 9: (15,4), 10: (15,1), 11: (20,4)} # 指定顶点位置,以节点为键,位置为值的字典
                  labels = nx.get_edge_attributes(G1, 'weight') # 设置边的 labels 为 ‘weight'
                  nx.draw(G1, pos,node_color = 'r',with_labels=True, font_color='b') # 绘制无向图,pos 指的是布局
                  nx.draw_networkx_edge_labels(G1, pos, edge_labels=labels, font_color='y') # 显示边的权值
                  plt.show()
                  • 1、Python Network(二)绘图draw系列draw(),draw_networkx(),draw_networkx_nodes(),draw_networkx_edges() 
                  • 2、用Python的networkx绘制精美网络图

                  3.5 结果

                  nx.info: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]

                  顶点 v1 到 顶点 v11 的最短加权路径:  [1, 2, 5, 6, 3, 7, 10, 9, 11]

                  顶点 v1 到 顶点 v11 的最短加权路径长度:  13

                  运筹学-Python实现图论与最短距离

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