C++前缀和与差分的使用示例讲解

目录

• 1.一维前缀和
• 2.二维前缀和
• 3.一维差分
• 4.二维差分

前缀和差分是一对逆运算

1.一维前缀和

有一个长度为n的数组an:a1,a2…an;

对于前缀和：Si= a1+a2+…+ai

如何求Si,S[i] = s[i-1]+a[i]

前缀js和可以快速求出原数组里面一段数的和。比如求一段区间[l,r],如果按照原来的做法，需要循环一遍，O(n),有前缀和的算法：

这个区间的数就是(Sr) - (sl-1)。同时，为了方便计算令s[0] = 0.比如计算[1,l],既s[l]-s[0] = s[l].

其实前缀和就是一个区间相减的操作，统一处理。前缀和其实是非常简单的

练习题：

输入一个长度为 nn 的整数序列。

接下来再输入 mm 个询问，每个询问输入一对 l,rl,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 ll 个数到第 rr 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 nn 和 mm。

第二行包含 nn 个整数，表示整数数列。

接下来 mm 行，每行包含两个整数 ll 和 rr，表示一个询问的区间范围。

输出格式javascript

共 mm 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n1≤l≤r≤n,

1≤n,m≤1000001≤n,m≤100000,

−1000≤数列中元素的值≤1000

#include <IOStream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n,m;
int a[N],S[N];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i = 1;i<=n;i++) S[i] = S[i-1]+a[i];
    while(m--)
    {
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\n",S[r]-S[l-1]);
    }
    return 0;
}

2.二维前缀和

二维前缀和是在一个二维矩阵里求子矩阵的和

练习题：

输入一个 nn 行 mm 列的整数矩阵，再输入 qq 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，qn，m，q。

接下来 nn 行，每行包含 mm 个整数，表示整数矩阵。

接下来 qq 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 qq 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤10001≤n,m≤1000,

1≤q≤2000001≤q≤200000,

1≤x1≤x2≤n1≤x1≤x2≤n,

1≤y1≤y2≤m1≤y1≤y2≤m,

−1000≤javascript矩阵内元素的值≤1000\

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m,q;
long a[N][N],s[N][N];
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        for(int j = 1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            //求前缀和
            s[i][j] = s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]);
    }
    return 0;
}

3.一维差分

给定a[1],a[2],…,a[n]构造差分数组b[N],使得a[i] = b[1]+b[2]+…+b[i]

b1 = a1,b2 = a2-a1,b3 = a3-a2,直到bn = an-an-1

b是a的差分，a是b的前缀和。有b数组就可以通过O(n)的时间复杂度得到a数组。

推导过程：

现在在a数组[L,R]中全部加上C，那就是al+C,al+1+C,…,ar+C,通过暴力的方式O(n)可以求解，那差分可以变成O(1)

在[Landroid,R]中，如果我们在b数组bl+C,那么al也会加上C，al+1也会加上C…an+1也会加上C，因为每一次都会加上一个bl。但是我们只要al到ar加上C，那么ar后面不要加上C，那么我们直接让br-c即可完成数组a在[L,R]范围里全部加上C。

核心操作是将a[L~R]全部加上C等价于b[L] +=C,b[R+1]-=C

把O(n)提高到O(1)

假定a数组全是初始化为0，那b数组也是全为0，但是题目a数组并不是0，我们可以看成进行n次插入操作，第一次是在原数组a[1,1]加上a1,第二次是在原数组a[2,2]加上a2…以此类推即可，所以并不需要去想如何构造差分

题目：

输入一个长度为 nn 的整数序列。

接下来输入 mm 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,cl,r,c，表示将序列中 [l,r][l,r] 之间的每个数加上 cc。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 nn 和 mm。

第二行包含 nn 个整数，表示整数序列。

接下来 mm 行，每行包含三个整数 l，r，cl，r，c，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 nn 个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100http://www.devze.com0001≤n,m≤100000,

1≤l≤r≤n1≤l≤r≤n,

−1000≤c≤1000−1000≤c≤1000,

−1000≤整数序列中元素的值≤1000

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n,m;
int a[N],b[N];
void insert(int l,int r,int c)
{
    b[l]+=c;
    b[r+1]-=c;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        insert(i,i,a[i]);
    }
    while(m--)
    {
        int l,r,c;
        cin>>l>>r>>c;
        insert(l,r,c);
    }
    for(int i = 1;i<=n;i++) a[i] = a[i-1]+b[i];
    for(int i = 1;i<=n;i++) printf("%d ",a[i]);
    return 0;
}

4.二维差分

二维差分也是一样的道理

练习题：

输入一个 nn 行 mm 列的整数矩阵，再输入 qq 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,cx1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1)(x1,y1) 和 (x2,y2)(x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 cc。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,qn,m,q。

接下来 nn 行，每行包含 mm 个整数，表示整数矩阵。

接下来 qq 行，每行包含 55 个整数 x1,y1,x2,y2,cx1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。

输出格式

共 nn 行，每行 mm 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤10001≤n,m≤1000,

1≤q≤1000001≤q≤100000,

1≤x1≤x2≤n1≤x1≤x2≤n,

1≤y1≤y2≤m1≤y1≤y2≤m,

−1000≤c≤1000−1000≤c≤1000,

−1000≤矩阵内元素的值≤1000

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m,q;
int a[N][N],b[N][N];
void Insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
    b[x1][y1]+=c;
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i = 1;i<=n;开发者_开发学习i++)
    {
        for(int j = 1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        for(int j = 1;j<=m;j++)
        {
            Insert(i,j,i,j,a[i][j]);
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2,c;
        scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);
        Insert(x1,y1,x2,y2,c);
    }
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        for(int j = 1;j<=m;j++)
        {
            b[i][j] += b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
        }
    }
     for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        for(int j = 1;j<=m;j++)
        {
            printf("%d ",b[i][j]);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}

到此这篇关于C++前缀和与差分的使用示例讲解的文章就介绍到这了,更多相关C++前缀和与差分内容请搜索我们以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持我们！